Lineare Algebra Beispiele

$16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$

Schritt 1

Subtrahiere $16 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ durch $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Dividiere $144$ durch $9$ .

$y^{2} = 16 + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Schritt 2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = 16 - \frac{16 x^{2}}{9}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$ .

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Schritt 4.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{4^{2} - \frac{16 x^{2}}{9}}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $\frac{16 x^{2}}{9}$ als ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{4^{2} - {(\frac{4 x}{3})}^{2}}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = \frac{4 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Schritt 4.3

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Schritt 4.4

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 3 + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 3 + 4 x$ heraus.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 (x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (3) + 4 (x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Schritt 4.7

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

Schritt 4.8

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

Schritt 4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 \cdot 3 - 4 x}{3}}$

Schritt 4.10

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 3 - 4 x$ heraus.

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Schritt 4.10.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) - 4 x}{3}}$

Schritt 4.10.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) + 4 (- x)}{3}}$

Schritt 4.10.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (3) + 4 (- x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3 - x)}{3}}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $\frac{4 (3 + x)}{3}$ mit $\frac{4 (3 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (4 (3 - x))}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.12

Multipliziere.

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Schritt 4.12.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}}$

Schritt 4.13

Schreibe $\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}$ als ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ um.

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Schritt 4.13.1

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(2^{2})}^{2}$ aus $16 (3 + x) (3 - x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

Schritt 4.13.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 4.13.3

Ordne den Bruch $\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Schritt 4.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Schritt 4.15

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Schritt 4.16

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Schritt 6

Setze den Radikanden in $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Schritt 7.2

Setze $3 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Setze $3 + x$ gleich $0$ .

$3 + x = 0$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 7.3

Setze $3 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $3 - x$ gleich $0$ .

$3 - x = 0$

Schritt 7.3.2

Löse $3 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 7.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 7.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 7.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 7.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 7.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3$

Schritt 7.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 7.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 7.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Schritt 7.6.1.3

Die linke Seite $- 27$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Schritt 7.6.2.3

Die linke Seite $9$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 7.6.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Schritt 7.6.3.3

Die linke Seite $- 27$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 7.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 3 \leq x \leq 3$

Schritt 8

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 3, 3]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Schritt 9